Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов ( МНК) – способ, подходящий для решения тех или иных задач, в основе которого – минимизация суммы квадратов отклонений отдельных функций от обозначенных переменных. Это – базовый метод регрессионного анализа, который позволяет оценить неизвестные параметры регрессионной модели, исходя из выборочных данных.

Метод наименьших квадратов
Введите количество пар (n)
Угловой коэффициент m
Y - пересечение
Уравнение линии - Y

Где можно использовать МНК

  • разрешить переопределённую систему уравнений (причём количество уравнений большечисла неизвестных),
  • найти решение не переопределённой (обычной) нелинейной системы уравнений,
  • аппроксимировать точечное значение отдельно взятой функции.

Благодаря МНК можно получить ОПТИМАЛЬНЫЕ оценки параметров уравнения регрессии, если при этом выполнены некоторые предпосылки, лежащие в основе метода, относительно случайного члена и независимой переменной.

ПРИМЕР.

Введём в соответствующее поле нашего калькулятора количество (n) пар (строк); пускай оно будет равно 2.

После этого зададим следующие значения X: 2 и 3 и Y: 5 и 11; сумма каждого при том – 5 и 16 соответственно.

Вычислим параметры уравнения линейного тренда, которое имеет вид

y=m×x+a

Найдём, что Y = –7, а m = 6.

Здесь: эмпирические коэффициенты тренда a–свободный член (в калькуляторе – Y–пересечение), а m– угловой коэффициент; оба они, к слову, представляются оценками теоретических коэффициентов.

Коэффициент тренда m (который в нашем примере равен 6) на деле показывает среднее изменение результирующей оценки у с изменением каждого периода времени t (в нашем примере –x).

Получается следующее: при увеличении x на 1 ед. показатель y преобразится примерно на 6 ед.

Уравнение тренда (линии –Y) принимает следующий вид:

y=6×x-7

Оно отражает общую тенденцию, прослеживающуюся в поведении означенных переменных. Это и есть искомый результат.Y