Комбинаторика — перестановки, сочетания, размещения

Элементы комбинаторики–перестановки, размещения, сочетания– как термины, известные нам сегодня, впервые встречаются в трудах Якоба Бернулли («перестановка» и «размещение») и Блеза Паскаля («сочетание»). В то же время термин «комбинаторика» придуман Готфридом Вильгельмом Лейбницем (к слову, учителем Бернулли), рассуждавшим о данной области математики как об искусстве. Кроме указанных элементов, существуют и другие комбинаторные конфигурации: «композиция» (разложение) и «разбиение числа».

Нахождение числа перестановок, числа размещений, числа сочетаний
k =
n =

Размещения

Пускай количество размещений(при выборе элементов без повторения) из n по k будет . Тогда для определения искомого значения служит следующее равенство:

При выборе же с повторением (т.е. при таковом размещении элементов) задействуют формулу

nk

ПРИМЕР №1

Дано 10 чисел: 1,2,…,10. Найти, сколько 4–значных чисел можно составить из предложенного ряда.

Для размещения с повторениями:

m=nk=104=10000

Для размещения без повторений:

Перестановки

Частный случай размещения при n=k– это перестановка из n элементов. Количество всех перестановок определяется следующим образом:

Ann=Pn=n!

ПРИМЕР №2

На книжной полке находится 20 книг, 5 из которых написаны в жанре детектива. Определить количество способов расстановки книг на полке, чтобы детективные произведения при этом всегда располагались рядом.

Если 5 детективов посчитать за 1 книгу, то количество перестановок выйдет следующим: P16

при этом все 5 произведений в жанре детектива можно переставлять следующим числом способов: P5

Тогда (следуя правилу произведения)

N=P5⋅P16=5!⋅16!

Сочетания

Сочетания из n элементов по k– это подмножества из k элементов, которые разнятся друг от друга хотя бы одним элементом (причём, в отличие от числа сочетаний, порядок элементов не важен, т.е., например,варианты 12 и 21 будут считаться одним и тем же).Пускай общее число сочетаний будет , и тогда для определения искомого значения служит следующее равенство:

ПРИМЕР №3

В футбольной команде из 30 человек необходимо выбрать 10 полевых игроков и 1 вратаря (т.е. 11 игроков основного состава). Найти, каким количеством способов возможно сделать это.

Отталкиваясь от того, что порядок футболистов не важен, найдём:

Введём в соответствующие поля нашего калькулятора известные значения n и k и получим искомые ответы, отражающие нахождение числа перестановок, размещений и сочетаний.